ESTALMAT Hoja 9

HOJA 9

Un juego solitario se juega en un tablero con forma de pentágono regular como el de la figura. Se juega del siguiente modo. En cada vértice se coloca una ficha blanca o una ficha negra. En cada movimiento elegimos un ficha negra y cambiamos las dos fichas vecinas por fichas del color contrario (blanca por negra y negra por blanca). Un ejemplo de posición posible inicial y de un primer movimiento se indica aquí

1. Imagínate que inicialmente tienes sobre el tablero un ficha negra y cuatro fichas blancas. Indica cómo tendrías que jugar para conseguir que todas las fichas del tablero sean negras.

2. Imagínate que cambias el tablero pentagonal por uno hexagonal (es decir con 6 vértices), y que de nuevo hay inicialmente una ficha negra y las demás blancas. ¿Cómo jugarías entonces para conseguir que todas las fichas del tablero sean negras?

3. Imagínate que el tablero tiene 2001 vértices. ¿Entonces?
   ¿Y si tiene 2000?

ESTALMAT Hojas 7 y 8

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 7

Imagínate que tienes que subir una escalera de 10 escalones, que lo puedes hacer de uno en uno o, si tienes mucha prisa, puedes optar por subir tres de un golpe. Así por ejemplo, una forma de subir sería de uno en uno, otra sería subir los siete primeros de uno en uno y los tres últimos de golpe, aunque esta forma sería distinta a empezar subiendo, por ejemplo, los tres primeros de golpe y luego de uno en uno. Fíjate que puedes también dar dos saltos de tres escalones, e incluso tres saltos de tres. Como puedes observar, hay diversas formas de subir la escalera con estas restricciones (de uno en uno o a saltos de tres). ¿Podrías decirnos exactamente cuántas formas distintas hay de hacerlo?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 8

El número 6 tiene por divisores menores que él a los números 1,2,3 y se verifica que 1+2+3=6, es decir 6 es suma de sus divisores más pequeños que él. El 28 tiene por divisores menores que él 1,2,4,7,14 y también 1+2+4+7+14=28. Tales números se llaman perfectos. No son muchos y aún no se sabe si hay alguno que sea impar.

1. Llamemos quinterón a un número N cuando es 5 veces la suma de sus divisores menores que él. El 5 es quinterón. ¿Puedes hallar algún otro número que sea quinterón? ¿Puedes razonar para ver que no hay ningún otro?

2. Llamemos pluscuamperfecto a un número N cuando es la suma de los cuadrados de todos los divisores menores que él. ¿Puedes encontrar algún número pluscuamperfecto? ¿Puedes razonar para ver que no hay ninguno?

3. Llamemos casiperfecto a un número N cuando la suma de sus divisores menores que él es N-1. Por ejemplo 4 es casiperfecto ya que sus divisores menores que él son 1,2 y sucede que 1+2=3=4-1. Comprueba que 2,4,8,16,32,64,..., es decir las potencias 2ⁿ son números casiperfectos. ¿Puedes razonar para ver que no hay otros números casiperfectos distintos de éstos que son potencias de 2?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

ESTALMAT Hojas 5 y 6

HOJA 5

La siguiente imagen es el esquema de las calles de un extraño pueblo, que continúa de la misma manera con otras cinco filas hacia abajo. Como ves hay bastantes pasos subterráneos.

Para ir de A a Q en la fila 3 recorriendo tres tramos se puede ir por diferentes caminos AMPQ, ARPQ,...

Se te pide:
1) Que prolongues el dibujo hasta la fila 5 siguiendo la misma pauta de construcción.
2) Que para cada punto de la fila 5 señales cuántos caminos distintos hay desde A a ese punto recorriendo 5 tramos. (Contarlos uno a uno te será difícil. Trata de ingeniártelas para contar astutamente, "contar sin contar", que es lo divertido).
3) Lo mismo para cada punto de la fila 8 recorriendo 8 tramos sin dibujar ya nada.

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 6

Numera los vértices de un cubo con los números del 1 al 8 de forma que, una vez hecho, los vértices de cada cara sumen lo mismo. Deduce primero cuánto tiene que valer esa suma. Cuéntanos qué estrategia has seguido.

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

ESTALMAT Hojas 3 y 4

HOJA 3

Se tiene un hexágono regular en el plano.
Operación 1: Se rodea con hexágonos iguales a él alrededor. Hay 1 + 6=7 hexágonos.
Operación 2: Se rodea esta estructura con hexágonos iguales. Ahora hay 1+6+2x6=19 hexágonos.
Se repite esta operación.
¿Cuántos hexágonos hay después de la operación 4?
¿Puedes decir cuántos hay después de la operación 100?
¿Cuántos hay después de la operación n?

Después de la operación n, queremos poner dos pesetas en cada vértice de orden 2 (es decir donde se corten dos aristas), y tres en cada uno de orden 3. ¿Cuántas pesetas en total necesitamos?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 4

Consideramos un número entero, por ejemplo 2587. Introducimos la operación siguiente que llamaremos "sumar cuadrados de 2587": 2²+5²+8²+7²=4+25+64+49=142

Para un número cualquiera N sumamos los cuadrados de N, luego sumamos los cuadrados del número que resulta, luego sumamos los cuadrados del número que resulta,...
Por ejemplo, si N es 2587, vamos formando 142, luego 1²+4²+2²=21, luego 2²+1=5, luego 5²= 25, luego, 2²+5²=29,....
Vamos a llamar a N "retornante" si al hacerlo esto muchas veces N aparece de nuevo.
Es claro que 1 es retornante, ya que 1²=1 y que 31, por ejemplo, no es retornante, ya que 3²+1²=10, 1²+0²=1, y no va a aparecer nunca más el 31.

Se pregunta:
Un número de cinco dígitos, ¿puede ser retornante?
¿Hay números retornantes distintos del 1 que has visto? Halla alguno.
¿Hay muchos?
¿Qué harías para hallarlos todos?
Si tienes tiempo hállalos todos.

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

ESTALMAT Hoja 2

HOJA 2

Tenemos un tablero con unos cuantos bloqueos para los movimientos que se van a proponer abajo, como el que figura aquí.

Los bloqueos (celdillas rayadas) significan que la moneda, en sus movimientos posibles, no puede ni ponerse en ellos ni atravesarlos, solamente puede bordearlos siguiendo alguno de los movimientos permitidos.

Se pone una moneda en el cuadro señalado. Juegan dos jugadores A y B.
Los movimientos permitidos de la moneda son los indicados a la derecha, es decir, o bien un cuadro hacia el Sur, o bien dos hacia el Sur o bien uno en diagonal hacia el Sureste.
Juega primero A. Escoge uno de los movimientos posibles y deja la moneda en la casilla correspondiente. Ahora es el turno de B. Escoge uno de los movimientos posibles para mover la moneda y la deja donde corresponda. Juega A....
Pierde el primero que no pueda mover la moneda.

Tú eres A y sales. ¿Cómo te conviene jugar para ganar? ¿Te puedes hacer con una estrategia infalible de modo que haga B lo que haga vas a ganar? ¿O bien te la podrás fabricar si eres B? Indícanos cómo lo vas pensando.

Comienzo ESTALMAT y Hoja 1

La Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

y la Fundación Vodafone España

tienen el honor de invitarle a participar en el

PROYECTO ESTALMAT

Detección y estímulo del talento precoz en Matemáticas

…………………………………………………………………………………………….

ESTALMAT- ASUNCIÓN (LEÓN)

Profesor Ángel Ramos

Cada semana te entregaremos una hoja con una prueba de las que se han celebrado en las distintas comunidades autónomas en años anteriores, para que puedas ir preparando la prueba final que tendrá lugar en Mayo-Junio.

HOJA 1

La representación olímpica de un país puede desfilar de tres en tres y queda por delante el que lleva la bandera. Lo mismo pasa si desfilan de cuatro en cuatro o si desfilan de cinco en cinco. ¿Cuántas personas la componen?

La representación de otro país intenta lo mismo, pero ahora de tres en tres quedan dos sueltos, de cuatro en cuatro les sobran tres y de cinco en cinco les sobran cuatro. ¿Cuántos miembros la componen?

La representación española tiene menos suerte. De tres en tres sobran dos, de cuatro en cuatro sobran tres y de cinco en cinco sobran tres, pero el número de atletas es mayor que el de los otros dos países. ¿Cuántos son?

Los dos primeros casos admiten estrategias particulares que no valen para el tercero, aunque la idea general es parecida. ¿Cómo los has pensado?

---------------------------------------

Escribe en folio tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan. Entrégalas a tu profesor de Matemáticas cada semana si quieres participar. Recuerda que tan importante como tu solución son tus propios caminos hacia la solución.

Proyecto ESTALMAT

Breve presentación de ESTALMAT


En el año 1998, la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, a través de un grupo de profesores de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid y de varios Centros de Secundaria de esta Comunidad, encabezados por el profesor, desgraciadamente ya fallecido,
D. Miguel de Guzmán, puso en marcha un proyecto para la detección y estímulo del talento matemático precoz, diseñado a partir de proyectos de naturaleza semejante desarrollados en las Universidades Johns Hopkins de Baltimore y la de Hamburgo.

Con unas líneas de actuación similares a las de Madrid, en octubre de 2003 se sumaron a esta iniciativa colectivos de Cataluña y Burgos, y en 2004 de Andalucía y Canarias. Por la iniciativa coordinada de varias provincias, en el curso actual el Proyecto se está desarrollando en Castilla y León.
El proyecto ha recibido apoyo institucional de la Junta de Castilla y León a través de las
Direcciones Provinciales de Educación y de las Universidades de la Comunidad en las
cuales se está desarrollando el Proyecto.

Entre los objetivos del Proyecto ESTALMAT figuran:
- Detectar el talento matemático excepcional de estudiantes, entre 12 y 14 años.
- Orientar y estimular, de manera continuada durante dos años a este grupo de niños, sin desarraigos de su entorno académico y personal.

Algunos de los factores que justifican este Proyecto son:
- La atención a la diversidad del alumnado en función de sus capacidades, motivación e intereses, uno de los retos de más calado en la nueva cultura de la enseñanza.
- Los alumnos mejor capacitados no han sido objeto, hasta el momento, de dedicación especial.
- La satisfacción personal de los alumnos y profesores participantes.
- A largo plazo, la contribución al avance de la Cultura, la Ciencia y la Tecnología en la Comunidad de Castilla y León.
- Beneficio para toda la sociedad, al tratar de que una apreciable parte de sus mejores talentos se identifique, contribuyendo así al bien común mediante la posible aportación futura de estos alumnos al desarrollo general del país.

Comienzo

Hola