ESTALMAT Hojas 3 y 4

HOJA 3

Se tiene un hexágono regular en el plano.
Operación 1: Se rodea con hexágonos iguales a él alrededor. Hay 1 + 6=7 hexágonos.
Operación 2: Se rodea esta estructura con hexágonos iguales. Ahora hay 1+6+2x6=19 hexágonos.
Se repite esta operación.
¿Cuántos hexágonos hay después de la operación 4?
¿Puedes decir cuántos hay después de la operación 100?
¿Cuántos hay después de la operación n?

Después de la operación n, queremos poner dos pesetas en cada vértice de orden 2 (es decir donde se corten dos aristas), y tres en cada uno de orden 3. ¿Cuántas pesetas en total necesitamos?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 4

Consideramos un número entero, por ejemplo 2587. Introducimos la operación siguiente que llamaremos "sumar cuadrados de 2587": 2²+5²+8²+7²=4+25+64+49=142

Para un número cualquiera N sumamos los cuadrados de N, luego sumamos los cuadrados del número que resulta, luego sumamos los cuadrados del número que resulta,...
Por ejemplo, si N es 2587, vamos formando 142, luego 1²+4²+2²=21, luego 2²+1=5, luego 5²= 25, luego, 2²+5²=29,....
Vamos a llamar a N "retornante" si al hacerlo esto muchas veces N aparece de nuevo.
Es claro que 1 es retornante, ya que 1²=1 y que 31, por ejemplo, no es retornante, ya que 3²+1²=10, 1²+0²=1, y no va a aparecer nunca más el 31.

Se pregunta:
Un número de cinco dígitos, ¿puede ser retornante?
¿Hay números retornantes distintos del 1 que has visto? Halla alguno.
¿Hay muchos?
¿Qué harías para hallarlos todos?
Si tienes tiempo hállalos todos.

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)