ESTALMAT Hojas 7 y 8

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 7

Imagínate que tienes que subir una escalera de 10 escalones, que lo puedes hacer de uno en uno o, si tienes mucha prisa, puedes optar por subir tres de un golpe. Así por ejemplo, una forma de subir sería de uno en uno, otra sería subir los siete primeros de uno en uno y los tres últimos de golpe, aunque esta forma sería distinta a empezar subiendo, por ejemplo, los tres primeros de golpe y luego de uno en uno. Fíjate que puedes también dar dos saltos de tres escalones, e incluso tres saltos de tres. Como puedes observar, hay diversas formas de subir la escalera con estas restricciones (de uno en uno o a saltos de tres). ¿Podrías decirnos exactamente cuántas formas distintas hay de hacerlo?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 8

El número 6 tiene por divisores menores que él a los números 1,2,3 y se verifica que 1+2+3=6, es decir 6 es suma de sus divisores más pequeños que él. El 28 tiene por divisores menores que él 1,2,4,7,14 y también 1+2+4+7+14=28. Tales números se llaman perfectos. No son muchos y aún no se sabe si hay alguno que sea impar.

1. Llamemos quinterón a un número N cuando es 5 veces la suma de sus divisores menores que él. El 5 es quinterón. ¿Puedes hallar algún otro número que sea quinterón? ¿Puedes razonar para ver que no hay ningún otro?

2. Llamemos pluscuamperfecto a un número N cuando es la suma de los cuadrados de todos los divisores menores que él. ¿Puedes encontrar algún número pluscuamperfecto? ¿Puedes razonar para ver que no hay ninguno?

3. Llamemos casiperfecto a un número N cuando la suma de sus divisores menores que él es N-1. Por ejemplo 4 es casiperfecto ya que sus divisores menores que él son 1,2 y sucede que 1+2=3=4-1. Comprueba que 2,4,8,16,32,64,..., es decir las potencias 2ⁿ son números casiperfectos. ¿Puedes razonar para ver que no hay otros números casiperfectos distintos de éstos que son potencias de 2?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)