PRUEBAS REALIZADAS EN AÑOS ANTERIORES

Colocamos enlaces para ver pruebas realizadas en años anteriores.

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Prueba 2006-MADRID-Hoja 2

Problema nº 2: El juego de los cartones

Ocho alumnos de una clase, Aurora, Berta, Clara, David, Ester, Fernando, Gloria y Helia tienen ocho cartones cuadrados, todos de la misma medida, donde han escrito sus iniciales (cuatro iniciales en cada cartón.)

Queremos hacer un juego que consiste en colocar sucesivamente los cartones cuadrados en un tablero, también cuadrado, que tiene la longitud del lado doble de la de los cartones:

Cada cartón se ha de colocar con los lados paralelos a los del tablero y se ha de hacer de manera que cada cartón que se coloca tape parcialmente el anterior (el segundo ha de tapar una parte del primero, el tercero una parte del segundo – y también si se quiere una parte del primero –, el cuarto una parte del tercero y si se quiere de los anteriores, etc...)

Una posible sucesión de jugadas podría ser ésta:

Y otra sucesión posible es ésta:

Después de haber hecho las ocho jugadas el tablero presenta este aspecto:

a) De los ocho alumnos, ¿quién fue el último en jugar?

b) Y ¿quién fue el penúltimo?

c) ¿Cuál ha sido el orden en el que se han hecho las jugadas?

d) ¿Crees que sin jugar las 8 personas, pero siguiendo las instrucciones del juego, se podría llegar a cubrir todo el tablero? ¿Con cuántas jugadas? Da un ejemplo, indica el orden en el que juegan y di cómo queda el tablero.

Prueba 2006-MADRID-Hoja 1

Problema nº 1. Dominó/Triminó

Las fichas del juego del dominó son rectángulos formados a partir de la unión de dos cuadrados. En esos cuadrados hay puntos que pueden variar de cero a seis. Así tenemos la ficha 3-4 (o 4-3 que es la misma), la 0-0 (conocida como blanca doble) la 0-5, la 3-3 ...

Un juego completo de dominó, donde no hay piezas repetidas, se compone de 28 fichas

1. Si quisiéramos hacer un dominó en el que los puntos de cada cuadrado sólo fueran de 0 a 4, ¿cuántas fichas tendría el juego completo?

2. ¿Y si los puntos fueran de 0 a 10?.

El juego del triminó es parecido al del dominó, las fichas son triángulos equiláteros y cada una lleva tres valores (números en vez de puntos), uno en cada vértice, tal como podéis ver en los ejemplos siguientes:

(Dos fichas diferentes)

c) Dos fichas son iguales si tienen los mismos tres números y están colocados en el mismo orden circular ¿Cuántas fichas diferentes hay en un triminó que tiene en los vértices números de 0 a 5.

Prueba 2006-MADRID-Hoja 0

PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA

DE CIENCIAS

Estímulo del talento matemático

Prueba de selección

3 de junio de 2006

Nombre:…………………………………………………....................................

Apellidos:……………………………………………….....................................

Fecha de nacimiento:……………………………………...................................

Teléfonos:………………………………………………….................................

Información importante que debes leer antes de comenzar a trabajar

En primer lugar debes mirar todos los ejercicios y después comenzar con los que te parezcan más sencillos.

No es necesario que trabajes las tareas en el orden en que se te presentan. Escoge tú mismo el orden que te parezca mejor.

Queremos conocer no solamente tus soluciones, sino sobre todo tus propios caminos hacia la solución.

Para ello te hemos propuesto los problemas cada uno en una hoja. El espacio libre lo puedes utilizar para tus observaciones y cálculos. Si este espacio no te basta utiliza por favor el reverso de la hoja y si aún te falta espacio utiliza otra hoja en blanco que nos puedes pedir (en la que debes señalar también el número que aparece en la esquina superior derecha de esta primera hoja). De ningún modo debes utilizar una hoja para cálculos y observaciones que se refieran a dos ejercicios distintos.

Al final nos debes entregar todos los papeles que hayas utilizado.

Nos interesa conocer las buenas ideas que se te ocurran en la solución de las tareas propuestas. Estas ideas, deberías tratar de describírnoslas de la manera más clara posible. Para ello nos bastarán unas breves indicaciones. También nos interesan las soluciones parciales de las tareas propuestas.

Además tenemos una curiosidad, ¿cómo te has enterado de esta convocatoria?

• A través de tu colegio,

• A través del Concurso de Primavera,

• A través de otros medios.

Tienes dos horas en total. No deberías emplear demasiado tiempo para un mismo ejercicio. Consejo: máximo tiempo para un ejercicio 30 minutos.

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Te deseamos mucho éxito.

ESTALMAT Hoja 15

HOJA 15

Sobre una circunferencia te señalan un sentido de recorrido y cinco puntos igualmente distanciados señalados ordenadamente, según el sentido de recorrido, con los números 1, 2, 3, 4, 5.

Si vas uniendo con un segmento el punto 1 con el punto 2, el 2 con 3, el 3 con el 4, el 4 con el 5, el 5 con el 1, formas una figura que es un pentágono regular.

Si vas uniendo los puntos de dos en dos hasta llegar al primero, es decir el 1 con el 3, el 3 con el 5, el 5 con el 2, el 2 con el 4, el 4 con el 1, llegas a formar otra figura distinta de la anterior.

Si los unes de tres en tres, es decir el 1 con el 4, el 4 con el 2, el 2 con el 5, el 5 con el 3, el 3 con el 1, la figura que obtienes es la misma que en el caso anterior.

Si los unes de cuatro en cuatro obtienes el pentágono regular, la misma figura que obtenías cuando unías los puntos de uno en uno.

En total obtienes, como ves, dos figuras distintas.

Trata ahora de responder a las preguntas siguientes indicando tu modo de razonar:

(1) Si en lugar de darte cinco puntos ordenados sobre la circunferencia e igualmente distanciados como arriba se indica te dan cuatro (ordenados e igualmente distanciados) ¿cuántas figuras distintas obtienes al proceder de igual forma, es decir, uniendo los puntos de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres hasta llegar al primero?

(2) ¿Cuántas figuras distintas si te dan seis puntos y los unes de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres,..., de cinco en cinco?

(3) ¿Y si te dan siete puntos?

(4) ¿Y si te dan doce puntos?

(5) ¿Y si te dan 60 puntos?

ESTALMAT Hoja 14

HOJA 14

En cada casilla de un tablero 4x4 se coloca un +1 ó un -1, de manera que el producto de todos los números de cada fila es -1, así como el producto de todos los números de cada columna. Un ejemplo lo puedes ver en la figura siguiente:

Responde justificadamente a estas cuestiones. Para una colocación cualquiera de números +1 y -1 como se indica arriba:

1. ¿Podemos haber escrito trece veces -1?

2. ¿Podemos haber escrito solamente tres veces -1?

3. ¿Es posible haber escrito exactamente nueve veces -1?

4. ¿Cuáles son las cantidades posibles de -1 que hemos podido escribir?

5. Construye un tablero con cada una de esas cantidades de -1.

ESTALMAT Hoja 13

HOJA 13

(a) Tienes una tira de papel como la de la figura, con tres pliegues a lo largo de los cuales la tira se puede doblar hacia adelante y hacia atrás, pero no se puede cortar ni doblar de ninguna otra forma.

¿De cuantas formas diferentes se puede plegar la tira para que quede así, con la cara señalada al frente y todas las demás dobladas de alguna manera de modo que queden detrás de ella?

(b) Imagina que se trata de una tira que tiene cuatro pliegues en lugar de tres, como la de abajo. ¿De cuántas formas diferentes se puede plegar entonces?

Explica cómo piensas para asegurarte de que has encontrado todos los modos posibles diferentes en cada caso.

ESTALMAT Hoja 12

HOJA 12

Cada una de las caras de un cubo se divide en cuatro cuadrados iguales como indica la figura. Estos cuadrados se colorean de rojo, verde y azul de manera que cada dos cuadrados vecinos (es decir, cada dos cuadrados que tienen un lado común) tengan colores distintos.

Si te dijéramos que hemos usado 9 veces el color rojo ¿puedes convencernos de que esto no es posible?

ESTALMAT Hoja 11

HOJA 11

En un tablero cuadriculado, por ejemplo de 5 filas y 5 columnas, colocamos una o varias fichas en diferentes casillas. Entonces diremos que están amenazadas todas las casillas situadas en la misma fila, columna y las situadas en las casillas a las que se llega moviéndose en dirección de las dos diagonales del tablero a partir de la casilla ocupada. Las casillas rayadas en los siguientes ejemplos son las amenazadas

Cuando el tablero es de tres filas y tres columnas es claro que basta colocar adecuadamente una ficha para que resulten amenazadas todas las casillas del tablero (basta colocarla en el centro). Es también claro que se pueden colocar dos fichas de modo que cada una de estas dos fichas esté en casilla no amenazada por la otra, por ejemplo como se indica aquí:

Sin embargo no es posible colocar tres fichas de modo que cada una esté en casilla no amenazada por alguna de las otras dos.

Así tenemos para el tablero 3x3:

1 es el número mínimo de fichas necesario para que resulten amenazadas todas las casillas del tablero.

2 es el número máximo de fichas que se pueden colocar de manera que ninguna ficha esté en casilla amenazada por ninguna de las otras.

Se pregunta ahora para el tablero 4x4:

1. ¿Cuál es el número mínimo de fichas necesario para que resulten amenazadas todas las casillas?

2. ¿Cuál es el número máximo defichas que se pueden colocar de manera que ninguna ficha esté en casilla amenazada por ninguna de las otras?

3. Indica las razones que tienes para estar seguro de lo que afirmas en (a)

4. Indica las razones que tienes para estar seguro de lo que afirmas en (b).

ESTALMAT Hoja 10

HOJA 10

Considera este triángulo de números

Vamos a llamar camino 123456 a cualquier línea quebrada formada por segmentos horizontales y verticales que pasa sucesivamente por un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 y un 6. Un ejemplo de camino 123456 se ha señalado en el dibujo.

Se pregunta

1. ¿Cuántos caminos 123456 hay?

2. Imagínate que prolongas el triángulo de la forma en que está construído hasta tener 10 filas ¿Cuántos caminos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hay entonces?

Y si lo prolongas hasta tener 25 filas, ¿cuántos caminos 1 2 3 ... 25?