PRUEBAS REALIZADAS EN AÑOS ANTERIORES

Colocamos enlaces para ver pruebas realizadas en años anteriores.

http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/

Prueba 2006-MADRID-Hoja 2

Problema nº 2: El juego de los cartones

Ocho alumnos de una clase, Aurora, Berta, Clara, David, Ester, Fernando, Gloria y Helia tienen ocho cartones cuadrados, todos de la misma medida, donde han escrito sus iniciales (cuatro iniciales en cada cartón.)

Queremos hacer un juego que consiste en colocar sucesivamente los cartones cuadrados en un tablero, también cuadrado, que tiene la longitud del lado doble de la de los cartones:

Cada cartón se ha de colocar con los lados paralelos a los del tablero y se ha de hacer de manera que cada cartón que se coloca tape parcialmente el anterior (el segundo ha de tapar una parte del primero, el tercero una parte del segundo – y también si se quiere una parte del primero –, el cuarto una parte del tercero y si se quiere de los anteriores, etc...)

Una posible sucesión de jugadas podría ser ésta:

Y otra sucesión posible es ésta:

Después de haber hecho las ocho jugadas el tablero presenta este aspecto:

a) De los ocho alumnos, ¿quién fue el último en jugar?

b) Y ¿quién fue el penúltimo?

c) ¿Cuál ha sido el orden en el que se han hecho las jugadas?

d) ¿Crees que sin jugar las 8 personas, pero siguiendo las instrucciones del juego, se podría llegar a cubrir todo el tablero? ¿Con cuántas jugadas? Da un ejemplo, indica el orden en el que juegan y di cómo queda el tablero.

Prueba 2006-MADRID-Hoja 1

Problema nº 1. Dominó/Triminó

Las fichas del juego del dominó son rectángulos formados a partir de la unión de dos cuadrados. En esos cuadrados hay puntos que pueden variar de cero a seis. Así tenemos la ficha 3-4 (o 4-3 que es la misma), la 0-0 (conocida como blanca doble) la 0-5, la 3-3 ...

Un juego completo de dominó, donde no hay piezas repetidas, se compone de 28 fichas

1. Si quisiéramos hacer un dominó en el que los puntos de cada cuadrado sólo fueran de 0 a 4, ¿cuántas fichas tendría el juego completo?

2. ¿Y si los puntos fueran de 0 a 10?.

El juego del triminó es parecido al del dominó, las fichas son triángulos equiláteros y cada una lleva tres valores (números en vez de puntos), uno en cada vértice, tal como podéis ver en los ejemplos siguientes:

(Dos fichas diferentes)

c) Dos fichas son iguales si tienen los mismos tres números y están colocados en el mismo orden circular ¿Cuántas fichas diferentes hay en un triminó que tiene en los vértices números de 0 a 5.

Prueba 2006-MADRID-Hoja 0

PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA

DE CIENCIAS

Estímulo del talento matemático

Prueba de selección

3 de junio de 2006

Nombre:…………………………………………………....................................

Apellidos:……………………………………………….....................................

Fecha de nacimiento:……………………………………...................................

Teléfonos:………………………………………………….................................

Información importante que debes leer antes de comenzar a trabajar

En primer lugar debes mirar todos los ejercicios y después comenzar con los que te parezcan más sencillos.

No es necesario que trabajes las tareas en el orden en que se te presentan. Escoge tú mismo el orden que te parezca mejor.

Queremos conocer no solamente tus soluciones, sino sobre todo tus propios caminos hacia la solución.

Para ello te hemos propuesto los problemas cada uno en una hoja. El espacio libre lo puedes utilizar para tus observaciones y cálculos. Si este espacio no te basta utiliza por favor el reverso de la hoja y si aún te falta espacio utiliza otra hoja en blanco que nos puedes pedir (en la que debes señalar también el número que aparece en la esquina superior derecha de esta primera hoja). De ningún modo debes utilizar una hoja para cálculos y observaciones que se refieran a dos ejercicios distintos.

Al final nos debes entregar todos los papeles que hayas utilizado.

Nos interesa conocer las buenas ideas que se te ocurran en la solución de las tareas propuestas. Estas ideas, deberías tratar de describírnoslas de la manera más clara posible. Para ello nos bastarán unas breves indicaciones. También nos interesan las soluciones parciales de las tareas propuestas.

Además tenemos una curiosidad, ¿cómo te has enterado de esta convocatoria?

• A través de tu colegio,

• A través del Concurso de Primavera,

• A través de otros medios.

Tienes dos horas en total. No deberías emplear demasiado tiempo para un mismo ejercicio. Consejo: máximo tiempo para un ejercicio 30 minutos.

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Te deseamos mucho éxito.

ESTALMAT Hoja 15

HOJA 15

Sobre una circunferencia te señalan un sentido de recorrido y cinco puntos igualmente distanciados señalados ordenadamente, según el sentido de recorrido, con los números 1, 2, 3, 4, 5.

Si vas uniendo con un segmento el punto 1 con el punto 2, el 2 con 3, el 3 con el 4, el 4 con el 5, el 5 con el 1, formas una figura que es un pentágono regular.

Si vas uniendo los puntos de dos en dos hasta llegar al primero, es decir el 1 con el 3, el 3 con el 5, el 5 con el 2, el 2 con el 4, el 4 con el 1, llegas a formar otra figura distinta de la anterior.

Si los unes de tres en tres, es decir el 1 con el 4, el 4 con el 2, el 2 con el 5, el 5 con el 3, el 3 con el 1, la figura que obtienes es la misma que en el caso anterior.

Si los unes de cuatro en cuatro obtienes el pentágono regular, la misma figura que obtenías cuando unías los puntos de uno en uno.

En total obtienes, como ves, dos figuras distintas.

Trata ahora de responder a las preguntas siguientes indicando tu modo de razonar:

(1) Si en lugar de darte cinco puntos ordenados sobre la circunferencia e igualmente distanciados como arriba se indica te dan cuatro (ordenados e igualmente distanciados) ¿cuántas figuras distintas obtienes al proceder de igual forma, es decir, uniendo los puntos de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres hasta llegar al primero?

(2) ¿Cuántas figuras distintas si te dan seis puntos y los unes de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres,..., de cinco en cinco?

(3) ¿Y si te dan siete puntos?

(4) ¿Y si te dan doce puntos?

(5) ¿Y si te dan 60 puntos?

ESTALMAT Hoja 14

HOJA 14

En cada casilla de un tablero 4x4 se coloca un +1 ó un -1, de manera que el producto de todos los números de cada fila es -1, así como el producto de todos los números de cada columna. Un ejemplo lo puedes ver en la figura siguiente:

Responde justificadamente a estas cuestiones. Para una colocación cualquiera de números +1 y -1 como se indica arriba:

1. ¿Podemos haber escrito trece veces -1?

2. ¿Podemos haber escrito solamente tres veces -1?

3. ¿Es posible haber escrito exactamente nueve veces -1?

4. ¿Cuáles son las cantidades posibles de -1 que hemos podido escribir?

5. Construye un tablero con cada una de esas cantidades de -1.

ESTALMAT Hoja 13

HOJA 13

(a) Tienes una tira de papel como la de la figura, con tres pliegues a lo largo de los cuales la tira se puede doblar hacia adelante y hacia atrás, pero no se puede cortar ni doblar de ninguna otra forma.

¿De cuantas formas diferentes se puede plegar la tira para que quede así, con la cara señalada al frente y todas las demás dobladas de alguna manera de modo que queden detrás de ella?

(b) Imagina que se trata de una tira que tiene cuatro pliegues en lugar de tres, como la de abajo. ¿De cuántas formas diferentes se puede plegar entonces?

Explica cómo piensas para asegurarte de que has encontrado todos los modos posibles diferentes en cada caso.

ESTALMAT Hoja 12

HOJA 12

Cada una de las caras de un cubo se divide en cuatro cuadrados iguales como indica la figura. Estos cuadrados se colorean de rojo, verde y azul de manera que cada dos cuadrados vecinos (es decir, cada dos cuadrados que tienen un lado común) tengan colores distintos.

Si te dijéramos que hemos usado 9 veces el color rojo ¿puedes convencernos de que esto no es posible?

ESTALMAT Hoja 11

HOJA 11

En un tablero cuadriculado, por ejemplo de 5 filas y 5 columnas, colocamos una o varias fichas en diferentes casillas. Entonces diremos que están amenazadas todas las casillas situadas en la misma fila, columna y las situadas en las casillas a las que se llega moviéndose en dirección de las dos diagonales del tablero a partir de la casilla ocupada. Las casillas rayadas en los siguientes ejemplos son las amenazadas

Cuando el tablero es de tres filas y tres columnas es claro que basta colocar adecuadamente una ficha para que resulten amenazadas todas las casillas del tablero (basta colocarla en el centro). Es también claro que se pueden colocar dos fichas de modo que cada una de estas dos fichas esté en casilla no amenazada por la otra, por ejemplo como se indica aquí:

Sin embargo no es posible colocar tres fichas de modo que cada una esté en casilla no amenazada por alguna de las otras dos.

Así tenemos para el tablero 3x3:

1 es el número mínimo de fichas necesario para que resulten amenazadas todas las casillas del tablero.

2 es el número máximo de fichas que se pueden colocar de manera que ninguna ficha esté en casilla amenazada por ninguna de las otras.

Se pregunta ahora para el tablero 4x4:

1. ¿Cuál es el número mínimo de fichas necesario para que resulten amenazadas todas las casillas?

2. ¿Cuál es el número máximo defichas que se pueden colocar de manera que ninguna ficha esté en casilla amenazada por ninguna de las otras?

3. Indica las razones que tienes para estar seguro de lo que afirmas en (a)

4. Indica las razones que tienes para estar seguro de lo que afirmas en (b).

ESTALMAT Hoja 10

HOJA 10

Considera este triángulo de números

Vamos a llamar camino 123456 a cualquier línea quebrada formada por segmentos horizontales y verticales que pasa sucesivamente por un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 y un 6. Un ejemplo de camino 123456 se ha señalado en el dibujo.

Se pregunta

1. ¿Cuántos caminos 123456 hay?

2. Imagínate que prolongas el triángulo de la forma en que está construído hasta tener 10 filas ¿Cuántos caminos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hay entonces?

Y si lo prolongas hasta tener 25 filas, ¿cuántos caminos 1 2 3 ... 25?

ESTALMAT Hoja 9

HOJA 9

Un juego solitario se juega en un tablero con forma de pentágono regular como el de la figura. Se juega del siguiente modo. En cada vértice se coloca una ficha blanca o una ficha negra. En cada movimiento elegimos un ficha negra y cambiamos las dos fichas vecinas por fichas del color contrario (blanca por negra y negra por blanca). Un ejemplo de posición posible inicial y de un primer movimiento se indica aquí

1. Imagínate que inicialmente tienes sobre el tablero un ficha negra y cuatro fichas blancas. Indica cómo tendrías que jugar para conseguir que todas las fichas del tablero sean negras.

2. Imagínate que cambias el tablero pentagonal por uno hexagonal (es decir con 6 vértices), y que de nuevo hay inicialmente una ficha negra y las demás blancas. ¿Cómo jugarías entonces para conseguir que todas las fichas del tablero sean negras?

3. Imagínate que el tablero tiene 2001 vértices. ¿Entonces?
   ¿Y si tiene 2000?

ESTALMAT Hojas 7 y 8

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 7

Imagínate que tienes que subir una escalera de 10 escalones, que lo puedes hacer de uno en uno o, si tienes mucha prisa, puedes optar por subir tres de un golpe. Así por ejemplo, una forma de subir sería de uno en uno, otra sería subir los siete primeros de uno en uno y los tres últimos de golpe, aunque esta forma sería distinta a empezar subiendo, por ejemplo, los tres primeros de golpe y luego de uno en uno. Fíjate que puedes también dar dos saltos de tres escalones, e incluso tres saltos de tres. Como puedes observar, hay diversas formas de subir la escalera con estas restricciones (de uno en uno o a saltos de tres). ¿Podrías decirnos exactamente cuántas formas distintas hay de hacerlo?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 8

El número 6 tiene por divisores menores que él a los números 1,2,3 y se verifica que 1+2+3=6, es decir 6 es suma de sus divisores más pequeños que él. El 28 tiene por divisores menores que él 1,2,4,7,14 y también 1+2+4+7+14=28. Tales números se llaman perfectos. No son muchos y aún no se sabe si hay alguno que sea impar.

1. Llamemos quinterón a un número N cuando es 5 veces la suma de sus divisores menores que él. El 5 es quinterón. ¿Puedes hallar algún otro número que sea quinterón? ¿Puedes razonar para ver que no hay ningún otro?

2. Llamemos pluscuamperfecto a un número N cuando es la suma de los cuadrados de todos los divisores menores que él. ¿Puedes encontrar algún número pluscuamperfecto? ¿Puedes razonar para ver que no hay ninguno?

3. Llamemos casiperfecto a un número N cuando la suma de sus divisores menores que él es N-1. Por ejemplo 4 es casiperfecto ya que sus divisores menores que él son 1,2 y sucede que 1+2=3=4-1. Comprueba que 2,4,8,16,32,64,..., es decir las potencias 2ⁿ son números casiperfectos. ¿Puedes razonar para ver que no hay otros números casiperfectos distintos de éstos que son potencias de 2?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

ESTALMAT Hojas 5 y 6

HOJA 5

La siguiente imagen es el esquema de las calles de un extraño pueblo, que continúa de la misma manera con otras cinco filas hacia abajo. Como ves hay bastantes pasos subterráneos.

Para ir de A a Q en la fila 3 recorriendo tres tramos se puede ir por diferentes caminos AMPQ, ARPQ,...

Se te pide:
1) Que prolongues el dibujo hasta la fila 5 siguiendo la misma pauta de construcción.
2) Que para cada punto de la fila 5 señales cuántos caminos distintos hay desde A a ese punto recorriendo 5 tramos. (Contarlos uno a uno te será difícil. Trata de ingeniártelas para contar astutamente, "contar sin contar", que es lo divertido).
3) Lo mismo para cada punto de la fila 8 recorriendo 8 tramos sin dibujar ya nada.

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 6

Numera los vértices de un cubo con los números del 1 al 8 de forma que, una vez hecho, los vértices de cada cara sumen lo mismo. Deduce primero cuánto tiene que valer esa suma. Cuéntanos qué estrategia has seguido.

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

ESTALMAT Hojas 3 y 4

HOJA 3

Se tiene un hexágono regular en el plano.
Operación 1: Se rodea con hexágonos iguales a él alrededor. Hay 1 + 6=7 hexágonos.
Operación 2: Se rodea esta estructura con hexágonos iguales. Ahora hay 1+6+2x6=19 hexágonos.
Se repite esta operación.
¿Cuántos hexágonos hay después de la operación 4?
¿Puedes decir cuántos hay después de la operación 100?
¿Cuántos hay después de la operación n?

Después de la operación n, queremos poner dos pesetas en cada vértice de orden 2 (es decir donde se corten dos aristas), y tres en cada uno de orden 3. ¿Cuántas pesetas en total necesitamos?

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

PROYECTO ESTALMAT

COLEGIO LA ASUNCIÓN - LEÓN

HOJA 4

Consideramos un número entero, por ejemplo 2587. Introducimos la operación siguiente que llamaremos "sumar cuadrados de 2587": 2²+5²+8²+7²=4+25+64+49=142

Para un número cualquiera N sumamos los cuadrados de N, luego sumamos los cuadrados del número que resulta, luego sumamos los cuadrados del número que resulta,...
Por ejemplo, si N es 2587, vamos formando 142, luego 1²+4²+2²=21, luego 2²+1=5, luego 5²= 25, luego, 2²+5²=29,....
Vamos a llamar a N "retornante" si al hacerlo esto muchas veces N aparece de nuevo.
Es claro que 1 es retornante, ya que 1²=1 y que 31, por ejemplo, no es retornante, ya que 3²+1²=10, 1²+0²=1, y no va a aparecer nunca más el 31.

Se pregunta:
Un número de cinco dígitos, ¿puede ser retornante?
¿Hay números retornantes distintos del 1 que has visto? Halla alguno.
¿Hay muchos?
¿Qué harías para hallarlos todos?
Si tienes tiempo hállalos todos.

(Escribe en otra hoja tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan)

ESTALMAT Hoja 2

HOJA 2

Tenemos un tablero con unos cuantos bloqueos para los movimientos que se van a proponer abajo, como el que figura aquí.

Los bloqueos (celdillas rayadas) significan que la moneda, en sus movimientos posibles, no puede ni ponerse en ellos ni atravesarlos, solamente puede bordearlos siguiendo alguno de los movimientos permitidos.

Se pone una moneda en el cuadro señalado. Juegan dos jugadores A y B.
Los movimientos permitidos de la moneda son los indicados a la derecha, es decir, o bien un cuadro hacia el Sur, o bien dos hacia el Sur o bien uno en diagonal hacia el Sureste.
Juega primero A. Escoge uno de los movimientos posibles y deja la moneda en la casilla correspondiente. Ahora es el turno de B. Escoge uno de los movimientos posibles para mover la moneda y la deja donde corresponda. Juega A....
Pierde el primero que no pueda mover la moneda.

Tú eres A y sales. ¿Cómo te conviene jugar para ganar? ¿Te puedes hacer con una estrategia infalible de modo que haga B lo que haga vas a ganar? ¿O bien te la podrás fabricar si eres B? Indícanos cómo lo vas pensando.

Comienzo ESTALMAT y Hoja 1

La Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

y la Fundación Vodafone España

tienen el honor de invitarle a participar en el

PROYECTO ESTALMAT

Detección y estímulo del talento precoz en Matemáticas

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ESTALMAT- ASUNCIÓN (LEÓN)

Profesor Ángel Ramos

Cada semana te entregaremos una hoja con una prueba de las que se han celebrado en las distintas comunidades autónomas en años anteriores, para que puedas ir preparando la prueba final que tendrá lugar en Mayo-Junio.

HOJA 1

La representación olímpica de un país puede desfilar de tres en tres y queda por delante el que lleva la bandera. Lo mismo pasa si desfilan de cuatro en cuatro o si desfilan de cinco en cinco. ¿Cuántas personas la componen?

La representación de otro país intenta lo mismo, pero ahora de tres en tres quedan dos sueltos, de cuatro en cuatro les sobran tres y de cinco en cinco les sobran cuatro. ¿Cuántos miembros la componen?

La representación española tiene menos suerte. De tres en tres sobran dos, de cuatro en cuatro sobran tres y de cinco en cinco sobran tres, pero el número de atletas es mayor que el de los otros dos países. ¿Cuántos son?

Los dos primeros casos admiten estrategias particulares que no valen para el tercero, aunque la idea general es parecida. ¿Cómo los has pensado?

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Escribe en folio tus ideas, cálculos, razonamientos, indicaciones; bastan indicaciones escuetas pero que se entiendan. Entrégalas a tu profesor de Matemáticas cada semana si quieres participar. Recuerda que tan importante como tu solución son tus propios caminos hacia la solución.

Proyecto ESTALMAT

Breve presentación de ESTALMAT


En el año 1998, la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, a través de un grupo de profesores de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid y de varios Centros de Secundaria de esta Comunidad, encabezados por el profesor, desgraciadamente ya fallecido,
D. Miguel de Guzmán, puso en marcha un proyecto para la detección y estímulo del talento matemático precoz, diseñado a partir de proyectos de naturaleza semejante desarrollados en las Universidades Johns Hopkins de Baltimore y la de Hamburgo.

Con unas líneas de actuación similares a las de Madrid, en octubre de 2003 se sumaron a esta iniciativa colectivos de Cataluña y Burgos, y en 2004 de Andalucía y Canarias. Por la iniciativa coordinada de varias provincias, en el curso actual el Proyecto se está desarrollando en Castilla y León.
El proyecto ha recibido apoyo institucional de la Junta de Castilla y León a través de las
Direcciones Provinciales de Educación y de las Universidades de la Comunidad en las
cuales se está desarrollando el Proyecto.

Entre los objetivos del Proyecto ESTALMAT figuran:
- Detectar el talento matemático excepcional de estudiantes, entre 12 y 14 años.
- Orientar y estimular, de manera continuada durante dos años a este grupo de niños, sin desarraigos de su entorno académico y personal.

Algunos de los factores que justifican este Proyecto son:
- La atención a la diversidad del alumnado en función de sus capacidades, motivación e intereses, uno de los retos de más calado en la nueva cultura de la enseñanza.
- Los alumnos mejor capacitados no han sido objeto, hasta el momento, de dedicación especial.
- La satisfacción personal de los alumnos y profesores participantes.
- A largo plazo, la contribución al avance de la Cultura, la Ciencia y la Tecnología en la Comunidad de Castilla y León.
- Beneficio para toda la sociedad, al tratar de que una apreciable parte de sus mejores talentos se identifique, contribuyendo así al bien común mediante la posible aportación futura de estos alumnos al desarrollo general del país.

Comienzo

Hola